关于Huynen目标参数与目标最佳极化关系的讨论

摘要

Huynen目标参数和最佳极化(OPs)是极化信息处理中两个基本概念。最佳极化在Poincare球上的分布根据Huynen目标参数的特征角可以细分为“针型”、“帽型”和“叉型”三种形态，目前尚缺乏完善的讨论。本文基于Kennaugh矩阵推导了目标的最佳极化，讨论了Huynen目标参数与最佳极化的对应关系。然后，基于三种最佳极化的分布形态讨论了几种典型结构目标的极化特性，可以为雷达极化学研究人员建立更清楚的概念。

关键词

Huynen目标参数; 最佳极化; 极化散射特性; 极化叉

J. R. Huynen在博士论文中最早分析了可以反映目标极化能力、奇/偶次散射、旋向和对称性几个物理特征的特征角$\gamma$、弹跳角v、定向角$\theta$和对称角$\tau$^[1]。由于该参数集与目标的结构特征紧密联系，一直以来备受雷达极化学研究人员的广泛关注。法国航空航天研究院Titin-Schnaider在文献[2]中将参数集{γ, v, θ, τ}称之为Huynen目标参数；在文献[3]中称之为Huynen极化叉参数；在文献[4]中称之为Huynen目标特征参数。Cameron极化分解提出者William L. Cameron将该参数集称为Huynen分解参数^[5]。清华大学杨健教授将这些参数称之为Huynen目标参数^[6]。还有许多知名学者称之为Huynen参数^[7-8]、Huynen欧拉参数^[9]等。在本文中，作者沿用Huynen目标参数一词，因为“目标参数”可以更宏观、统一地涵盖其表征形式、物理含义等多重内涵。

目标最佳极化是已知目标的极化散射特性，确定发射和接收极化方式，使得获得的目标散射接收功率最大或最小，这种确定发射和接收的极化就被称为目标的最佳极化^[10]。已知目标的散射矩阵或Kennaugh矩阵(简记为K)，可以从理论上推导出该目标的最佳极化，包括：1个共极化最大值Co-Max，1个共极化鞍点Co-S，2个共极化零点Co-N，2个交叉极化最大值X-Max，2个交叉极化零点X-N和2个交叉极化鞍点X-S。这些最佳极化在Poincare球上的分布形态为“极化叉”或“极化树”为普遍认知。但是，根据Huynen目标参数中的特征角，分布形态其实可以细分为“针型”、“帽型”和“叉型”3种类型。

最佳极化与Huynen目标参数可以通过Poincare球直观、形象地联系起来。Huynen目标参数中的特征角$\gamma$决定了最佳极化在Poincare球上的分布形态是“针型”、“帽型”还是“叉型”。$\mathrm{2}\nu ,\mathrm{2}\tau ,\mathrm{2}\theta$分别对应最佳极化围绕Poincare球三个坐标轴的旋转角度。因此，Huynen目标参数与最佳极化之间是相互确定的。本文详细推导了两者的关系，提出通过Huynen目标参数计算目标最佳极化的方法，并基于最佳极化讨论了典型结构目标的极化散射特性。

1 Huynen目标参数与最佳极化的关系

已知目标的K矩阵，得到接收功率P和接收天线极化状态g_r和发射天线极化状态g_i的关系为：

$$P={{\mathit{g}}_{\mathrm{r}}}^{\mathrm{T}}\cdot \mathit{K}\cdot {\mathit{g}}_{\mathrm{i}}={{\mathit{g}}_{\mathrm{r}\mathrm{0}}}^{\mathrm{T}}\cdot {\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\cdot {\mathit{g}}_{\mathrm{i}\mathrm{0}}$$

(1)

其中

$$\mathit{K}={\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\theta \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\tau \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{1}}\left(-\mathrm{2}\nu \right)\cdot {\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}\nu \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{2}\tau \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{2}\theta \right)$$

(2)

O₁，O₂，O₃为旋转矩阵：

$${\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}\nu \right)=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\nu \right)& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\nu \right)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\nu \right)& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\nu \right)\end{array}\right)$$

(3)

$${\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\tau \right)=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\tau \right)& \mathrm{0}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\tau \right)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\tau \right)& \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\tau \right)\end{array}\right)$$

(4)

$${\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\theta \right)=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\theta \right)& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta \right)& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta \right)& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}\theta \right)& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)$$

(5)

$${\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\left(\gamma \right)=\frac{{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{4}}\gamma }\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{2}\gamma & \mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{2}\gamma & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{2}\gamma & \mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{2}\gamma & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{2}\gamma & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{2}\gamma \end{array}\right]$$

(6)

根据式(1)、式(2)和式(6)，得到

$$P={{\mathit{g}}_{\mathrm{r}}}^{\mathrm{T}}\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\theta \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\tau \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{1}}\left(-\mathrm{2}\nu \right)\cdot {\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}\nu \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{2}\tau \right)\cdot {\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{2}\theta \right)\cdot {\mathit{g}}_i$$

(7)

$$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{g}}_{\mathrm{i}}={\mathit{O}}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\theta \right)·{\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\tau \right)·{\mathit{O}}_{\mathrm{1}}\left(-\mathrm{2}v\right){\mathit{g}}_{\mathrm{i}\mathrm{0}}\\ {\mathit{g}}_{\mathrm{r}}={\mathit{O}}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}\theta \right)·{\mathit{{\rm O}}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\tau \right)·{\mathit{O}}_{\mathrm{1}}\left(-\mathrm{2}v\right){\mathit{g}}_{\mathrm{r}\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

(8)

式(8)建立了由K矩阵求得的最佳极化与K₀对应的最佳极化之间的几何关系：由K₀矩阵求得的最佳极化分别围绕Poincare球的三个坐标轴旋转$\mathrm{2}\nu ,\mathrm{2}\tau ,\mathrm{2}\theta$角度得到K矩阵对应的最佳极化。特别地，当γ=0°时，根据式(3)和式(6)可知，参数v可以取任意值。因此，已知目标K矩阵，求目标的最佳极化问题可以转化为求解K₀矩阵的最佳极化。

根据式(1)，共极化接收时，接收功率P建模为：

$$P=\left[\mathrm{1},a,b,c\right]\cdot {\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\cdot {\left[\mathrm{1},a,b,c\right]}^{\mathrm{T}}$$

(9)

其中变量a, b, c满足a²+b²+c²=1。

交叉极化接收时，接收功率P建模为：

$$P=\left[\mathrm{1},-a,-b,-c\right]\cdot {\mathit{K}}_{\mathrm{0}}\cdot {\left[\mathrm{1},a,b,c\right]}^{\mathrm{T}}$$

(10)

分别求式(9)和式(10)的极值得到表1。

表1 K₀矩阵最佳极化

Table1 Optimum polarization of K₀

optimum polarization	characteristic angle	[a,b,c]	characteristic angle	[a,b,c]
Co-N	$\gamma \in \left[0,\mathrm{\pi }/4\right]$	(-cos2$\gamma$,0, ± sin2$\gamma$)
Co-Max	$\gamma \in \left[0,\mathrm{\pi }/4\right)$	(1,0,0)	$\gamma =\mathrm{\pi }/4$	(a2+b2=1,c=0)
Co-S	$\gamma \in \left(0,\mathrm{\pi }/4\right)$	(-1,0,0)
X-N	$\gamma \in \left[0,\mathrm{\pi }/4\right)$	(±1,0,0)	$\gamma =\mathrm{\pi }/4$	(a2+b2=1,c=0)
X-Max	$\gamma \in \left(0,\mathrm{\pi }/4\right]$	(0,0,±1)	$\gamma =0$	(0,b2+c2=1)
X-S	$\gamma \in \left(0,\mathrm{\pi }/4\right)$	(0,±1,0)

将表 1中由K₀求取的最佳极化用Poincare球进行图像化表征，如图 1所示。图 1中最佳极化的分布形态根据特征角γ可以划分为3种类型：“针型”、“帽型”和“叉型”。当γ=0°时，Co-Max和Co-N分别位于Poincare球大圆直径的两个端点，此时将最佳极化的分布称之为“针型”；当γ=45°时，两个Co-N位于Poincare球大圆直径的两个端点，Co-Max不再是单独的一个点，而是与两个Co-N垂直的大圆极化轨道，此时将最佳极化的分布称之为“帽型”；当0°<γ<45°时，两个Co-N和Co-Max构成一个“叉型”结构，因此将这种最佳极化的分布称为“叉型”。

图 1 目标最佳极化三维表征

Fig.1 Graphical representation of target optimum polarizations

2 典型结构极化散射特性分析

2.1 基于Huynen目标参数的最佳极化计算方法

由第1节可知，目标的最佳极化与Huynen目标参数是一一对应的。通过K矩阵求出Huynen目标参数后就可以得到目标的最佳极化。具体步骤如下：1) 通过目标的K矩阵求解出目标的Huynen参数，求解方法可参考文献[1]；2) 根据表 1和Huynen参数中的特征角，求解对应K₀矩阵的最佳极化；3) 根据式(8)，由K₀矩阵求得的最佳极化分别围绕Poincare球的3个坐标轴旋转$\mathrm{2}\nu ,\mathrm{2}\tau ,\mathrm{2}\theta$角度最终得到目标的最佳极化。

以文献[11]中的算例进行验证，已知目标的散射矩阵为[2i，0.5；0.5，-i]，i为虚数单位。根据该散射矩阵求得对应的Huynen目标参数为：γ=30.94°，v=45°，θ=0°，τ=22.5°。

利用本文方法求得目标的最佳极化为：共极化最大值：$\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$；共极化鞍点：$\left(-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$；共极化零点：$\left(-\mathrm{1}/\mathrm{3},\sqrt[]{\mathrm{7}}/\mathrm{3},-\mathrm{1}/\mathrm{3}\right)$、$\left(-\mathrm{1}/\mathrm{3},-\sqrt[]{\mathrm{7}}/\mathrm{3},-\mathrm{1}/\mathrm{3}\right)$；交叉极化最大值：(0,1,0)、(0,$-$1,0)；交叉极化零点：$\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$、$\left(-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$；交叉极化鞍点：$\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$、$\left(-\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2},\mathrm{0},\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}\right)$；上述最佳极化的计算结果与文献[11]一致，验证了本文Huynen目标参数与最佳极化的关系推导以及利用Huynen目标参数计算目标最佳极化的可行性。

2.2 基于最佳极化的典型结构极化散射特性分析

典型结构体如平板(球体、三面角)、圆柱体、二面角、窄二面角、偶极子、螺旋体的极化散射特性对于目标精细结构的解译具有重要意义。本节求解了以上典型结构Huynen目标参数和最佳极化，并对其极化散射特性进行了分析。

如表2所示，平板、球体、三面角、二面角结构类型的目标，最佳极化的分布为“帽型”，即对应于共极化最大值的极化方式不止一种，而是位于一个大圆极化轨道上。其中二面角结构的最佳极化可以由平板（球体、三面角）结构的最佳极化绕g₁轴旋转2v=90°得到。圆柱体和窄二面角的最佳极化为“叉型”。窄二面角结构的最佳极化同样可以由圆柱体结构的最佳极化绕g₁轴旋转2v=90°得到。偶极子和螺旋体的最佳极化为“针型”。共极化最大值和零点分别位于大圆直径的两个端点，交叉极化最大值位于与该直径垂直的大圆极化轨道。从偶极子和螺旋体的Huynen目标参数可以看出，左/右螺旋体的最佳极化分别可以由偶极子的最佳极化绕g₂轴旋转2τ=$\mp$90°得到。

表 2 典型结构目标的Huynen目标参数与最佳极化

Table 2 Huynen target parameters and optimum polarizations of typical structures

structure type	sinclair matrix	Huynen target parameters	optimum polarizations	graphical representation
plate、sphere、trihedral	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	[γ=45°,v=0°,θ=$\forall$,τ=0°]		top
cylinder	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1/2\end{array}\right]$	[γ=35.3°,v=0°,θ=0°,τ=0°]		fork
dihedral	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	[γ=45°,v=45°,θ=0°,τ=$\forall$]		top
narrow dihedral	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1/2\end{array}\right]$	[γ=35.3°,v=45°,θ=0°,τ=0°]		fork
dipole	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$	[γ=0°,v=$\forall$,θ=0°,τ=0°]		needle
left helix	$\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& -1\end{array}\right]$	[γ=0°,v=$\forall$,θ=$\forall$,τ=-45°]		needle
right helix	$\left[\begin{array}{cc}1& -\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}& -1\end{array}\right]$	[γ=0°,v=$\forall$,θ=$\forall$,τ=45°]		needle

Huynen目标参数具有不确定性，即对应于同一个散射矩阵具有多组Huynen目标参数集与之对应。由表 2可以看出，由于平板(球体、三面角)、螺旋体结构的最佳极化围绕g₃轴旋转是没有变化的，所以θ可以取任意值。同理，二面角的τ可以取任意值。又由于γ=0°时，参数v可以取任意值，所以偶极子和螺旋体的参数v也是不确定的。从目标结构解译的角度来看，Huynen目标参数的不确定性是不利的。

3 结论

本文从Kennaugh矩阵出发，重点讨论了Huynen目标参数与目标最佳极化的关系。基于两者在Poincare球上的几何表征关系，提出了利用Huynen目标参数估计目标最佳极化的方法。因此，估计Huynen目标参数可以同时实现目标的极化特征提取和信号增强、干扰或杂波抑制等。通过本文，雷达极化学研究人员可以更清楚Huynen目标参数与最佳极化的物理意义，为极化特征提取、目标识别、杂波抑制奠定基础。